如何正確計算投資報酬率
前言
前幾篇有提到，我會花點時間撰寫一下如何計算投資報酬率的文章。為什麼要寫這樣的文章呢？主要是因為，我注意到網路上投資的資料很多，講如何正確計算投資報酬率的中文文章卻很少。
網路上講投資報酬率計算的文章，要碼是錯誤的用了根本不該用的最簡單的公式（請參見下一節：「最直白的算法與它的問題」），要碼是只提了 TWR 或是 MWR/IRR 的其中一種（詳細內容會在下面說明）而沒提到另外一種，也沒有提 TWR 與 MWR 究竟在什麼時候用、其意義為何。
有鑑於此，我決定整理一篇關於如何正確計算投資報酬率的文章，希望對大家有所幫助。這篇會用到一點點數學，也會把公式列出來。但不用緊張，你不需要真的把公式背起來用，了解其意義就可以了，實際的計算有各式各樣的工具可以用，完全不用自己慢慢算。
其實，畢竟投資報酬率的計算只不過是一些簡單的概念與公式，這比主動選股要看的東西簡單多了。如果連投資報酬率的正確計算都做不到，那我真的覺得最好不要花太多時間在主動選股了，定期投資全市場 ETF 是這種人最好的選擇。
最直白的算法與它的問題
投資報酬率 (return on investment, roi) 最直白的算法應該沒有人不會。簡單來說，就是利潤除以本金。
\[
\begin{aligned}
roi &= \frac{Revenue}{Investment}\\ &= \frac{gain\ from\ investment − cost\ of\ investment}{cost\ of\ investment}
\end{aligned}
\]
但如果拿這個算法來用在投資上，這個算法有兩個明顯的問題。
- 完全沒有考慮時間效應
- 對於長期、有出入金的狀況，公式有模糊地帶
首先第 1 點，完全沒有考慮時間效應。假設有兩位投資者，本金都是 1000 元，且都賺了100 元，但一個投資者只花了一個月，另一個投資者則花了一年，從這個簡單的公式來說，投資報酬率都是 10%，但很明顯，第一個投資者賺錢的能力遠高於第二位，因為他的速度是十二倍。而這個簡單公式，完全無法體現這個賺錢速度的差異。
第 2 點，對於長期、有出入金的狀況，公式有模糊地帶。假設我今天有月薪十萬，每個月拿一萬投資。經過一年後，我帳戶入金了十二次共 12 萬，第二年第一個月，因個人需求，出金 2 萬而不入金，接著照規矩每月入金一萬。到第二年年底，我總共入金 23 萬，出金 2 萬，那我成本到底該用 23 萬算，還是用 23-2 共 21 萬算？
直覺上來說，實際上我等於只出了 21 萬算，所以應該用 21 萬當本金。但如果延用這樣的思維，換成另一個情況，我於第一個月入金一萬，然後這個月賺了 100 元，第二個月出金一萬，帳戶內剩下淨利 100 元，那豈不是我本金應該要用 0 算，投資報酬率變成無限大？
理論上來講用無限大也沒錯，但這樣一來，淨利 100 或 1000 或 10000 都是無限大的倍率，變成根本無從比較，這樣的投資報酬率，其實是一點用也沒有的。所以在投資上，根本不應該用這樣的方式來計算投資報酬率。
為了解決上述的兩個問題，在投資上，正確的投資報酬率我們應該要採用另外兩種算法。分別是 Time-Weighted Rate of Return (TWR, 時間加權收益率) 與 Money-Weighted Rate of Return (MWR, 金錢加權收益率）
Time-Weighted Rate of Return
Time-Weighted Rate of Return 通常簡寫為 TWR ，中文翻譯為時間加權收益率。
計算方式
TWR 的計算方式很簡單，以每次出入金為分界點，或是以固定一小段時間為周期，分段進行計算投資報酬率，最後將每段的報酬率加一之後相乘，最後減去一，就是 TWR。
單看文字可能有點難理解，這裡直接舉例，假設我們每月 1 日開盤前進行出入金：
| 2020/01/01 | 2020/02/01 | 2020/03/01 | 2020/04/01 | |
|---|---|---|---|---|
| 前期資金 | 0 | 1050 | 1155 | 1212 |
| 增減資金 | 1000 | 0 | 45 | -12 |
| 等效初始本金 | 1000 | 1050 | 1200 | 1200 |
| 當月結餘 | 1050 | 1155 | 1212 | 1224 |
| 當月利潤 | 50 | 105 | 12 | 24 |
| 階段投報率 | 50/1000=5% | 105/1050=10% | 12/1200=1% | 24/1200=2% |
上面的 TWR 計算方式如下
\[
\begin{aligned}
TWR &= (1+5\%)\times(1+10\%)\times(1+1\%)\times(1+2\%)-1\\
&= 1.05\times 1.1\times1.01 \times1.02-1\\
&= 0.189881\\
&\approx 18.99\%
\end{aligned}
\]
上面的表格，是以一個月為週期去計算，但其實我們不一定要固定為一個月，我們可以用出入金為分界點整理為三個區間。
| 2020/01/01 ~ 02/29 | 2020/03/01~03/31 | 2020/04/01~04/30 | |
|---|---|---|---|
| 前期資金 | 0 | 1155 | 1212 |
| 增減資金 | 1000 | 45 | -12 |
| 等效初始本金 | 1000 | 1200 | 1200 |
| 當月結餘 | 1155 | 1212 | 1224 |
| 當月利潤 | 155 | 12 | 24 |
| 階段投報率 | 155/1000=15.5% | 12/1200=1% | 24/1200=2% |
上面的 TWR 計算方式如下
\[
\begin{aligned}
TWR &= (1+15.5\%)\times(1+1\%)\times(1+2\%)-1\\
&= 1.155\times1.01 \times1.02-1\\
&= 0.189881\\
&\approx 18.99\%
\end{aligned}
\]
仔細看你會發現兩種算法結果完全一樣。所以 TWR 的算法其實可以固定周期計算（實際上一個月由於日數不同，不能算是固定周期就是了，但這裡簡化不討論，你可以自己改成單日計算去算一次，結果仍是一樣的），也可以用出入金為分割點計算，完全等效。
實際意義
在解釋實際意義時，我們用一個非常簡單的案例來講解會比較直觀。想像我們每年年初入金，狀況如下：
| 2020/01/01 ~ 2020/12/31 | 2021/01/01~2021/12/31 | |
|---|---|---|
| 前期資金 | 0 | 1000 |
| 增減資金 | 500 | 1000 |
| 等效初始本金 | 500 | 2000 |
| 結餘 | 1000 | 1500 |
| 當月利潤 | 500 | -500 |
| 階段投報率 | 500/500=100% | -500/2000=-25% |
上面的 TWR 計算方式如下
\[
\begin{aligned}
TWR &= (1+100\%)\times(1+(-25\%))-1\\
&= 2\times 0.75-1\\
&= 0.5\\
&= 50\%
\end{aligned}
\]
這個時候，我們假設將本金完全移到第一天去，然後每個周期用一樣的投報率去演變，結果會怎樣呢？
| 2020/01/01 ~ 2020/12/31 | 2021/01/01~2021/12/31 | |
|---|---|---|
| 前期資金 | 0 | 3000 |
| 增減資金 | 1500 | 0 |
| 等效初始本金 | 1500 | 3000 |
| 階段投報率 | 100% | -25% |
| 當月結餘 | 1500x(1+100%)=3000 | 3000x(1-25%)=2250 |
這時候用最傳統的算法，利潤除以本金（這時候因為中間沒有任何出入金，所以沒有本金定義的問題）是 (2250-1500)/1500=50% ，你會發現跟我們上面計算出來的 TWR 完全相同，都是 50% 報酬率。
所以，TWR 可以等效於將所有本金都於起始時投入之後，照完全相同的波動去起伏會有的理論報酬率。
有了這個例子再回想其計算方式，可以從數學定義上很直觀看出來， TWR 等於是任何初始本金用相同波動去起伏會有的理論報酬率 。
TWR 這種計算方式，可以解決等效本金為零時，傳統算法會變成無限而無法比較的問題。想像下面兩種狀況：
| 2020/01/01 ~ 2020/12/31 | 2021/01/01~2021/12/31 | |
|---|---|---|
| 前期資金 | 0 | 1000 |
| 增減資金 | 500 | -500 |
| 等效初始本金 | 500 | 500 |
| 結餘 | 1000 | 1000 |
| 當月利潤 | 500 | 500 |
| 階段投報率 | 500/500=100% | 500/500=100% |
這種狀況，總利潤 500，TWR 為 300%
\[
\begin{aligned}
TWR &= (1+100\%)\times(1+100\%)-1\\
&= 2\times 2-1\\
&= 3\\
&= 300\%
\end{aligned}
\]
第二種：
| 2020/01/01 ~ 2020/12/31 | 2021/01/01~2021/12/31 | |
|---|---|---|
| 前期資金 | 0 | 1000 |
| 增減資金 | 500 | -500 |
| 等效初始本金 | 500 | 500 |
| 結餘 | 1000 | 550 |
| 當月利潤 | 500 | 50 |
| 階段投報率 | 500/500=100% | 50/500=10% |
這種狀況，總利潤 50，TWR 為 120%
\[
\begin{aligned}
TWR &= (1+100\%)\times(1+10\%)-1\\
&= 2\times 1.1-1\\
&= 1.2\\
&= 120\%
\end{aligned}
\]
同樣是等效本金為零，前者 TWR 較高，而其總利潤確實就是比後者多，在投資週期一樣長的前提下，前者確實較為厲害。
Money-Weighted Rate of Return
Money-Weighted Rate of Return 通常簡寫為 MWR ，它也可以稱為 Internal rate of return (IRR) 中文翻譯為金錢加權收益率或是內部報酬率。
金錢的時間價值 (Time Value Of Money)
要解釋 MWR，我們需要先簡單的講一下「金錢的時間價值」(Time Value Of Money)這個概念。「金錢的時間價值」(Time Value Of Money)是一個經濟學上的術語，我們在這就不用太學術的方式來深究這個名詞，我們用很簡單的生活概念來講解。
在現實生活中，如果你有一筆錢，這筆錢你不能花，也不能投資的情況下，請問你會拿去做什麼呢？如果是在台灣，我相信你會拿去銀行或是郵局存起來，為什麼這樣選呢？因為錢以現金的形式放著，它不會自己變多，而拿去存，可以領利息。
那既然這樣，我們是不是可以假設，金錢會以隨著時間增長，自然地再生出錢來呢？如果我們假設在一般狀況下，錢可以穩定的生錢，那其實就意味著，現在的一百元，跟未來的一百元，其價值其實是不同的。未來的一百元，價值比今天的一百元要小，因為我可以用更少的錢去生利息就累積出一百元的錢。
這，就是最簡單的「金錢的時間價值」的概念。
貼現率/折現率 (Discount rate)
沿用上面儲蓄的例子，假設今天我拿一萬元去存錢，年利率 2%，且每年配息/複利一次，那麼一年後，一萬元會變成一萬零兩百元。
那麼，如果我今天有一萬零兩百，而市場上的存錢利率整體來說約為 2% 的話，從上面的例子我們可以得知，我手上這一萬零兩百元，可以折算成去年的一萬元，這個概念就是所謂的折現，而 2%，就是這個例子用的折現率又或稱為貼現率。
現值與淨現值 (Net Present Value)
我們現在已經知道，對於不同時間的錢，我們都可以用一個特定的折現率去計算成對應今天的現值。要計算現值的方式很簡單，就用上面的儲蓄例子做思考，假設初始存款也就是現值為 PV (Present Value)，每期的利率為 r ，且有 n 期，則以複利計算的最後存款也就是終值 FV (Future value)，就會是：
\[
\begin{aligned}
FV = PV\times(1+r)^n
\end{aligned}
\]
所以，移項一下就可以得知現值 PV (Present Value)的計算方式為：
\[
\begin{aligned}
PV = \frac{FV}{(1+r)^n}
\end{aligned}
\]
而如果我們把未來的出金入金，每一筆用這樣的公式對應到投資起始日的現值，將這個值加總，就是現在的「淨現值」(Net Present Value, NPV)。
\[
\begin{aligned}
NPV = \sum_{n=0}^N\frac{FV_n}{(1+r)^n}
\end{aligned}
\]
計算公式
講完了金錢的時間價值與貼現率還有淨現值的概念之後，我們就可以來介紹實際的 MWR 的算法了。
MWR 的公式概念很簡單。由於
現在的錢投入到某個投資 = 未來的錢
而現值/淨現值的概念告訴我們
未來的錢 = 用這個投資的投資報酬率當成折現率折回現在的錢
所以
現在的錢投入到某個投資 = 用這個投資的投資報酬率當成折現率折回現在的錢
左右同減處理一下就是
0 = 用這個投資的投資報酬率當成折現率折回現在的錢+(-現在的錢投入到某個投資)
那麼，從這個等式我們就可以得知，如果我們把現在投資的本金當成負的現金流（負號項），未來投資帶給我的錢當成正的現金流並把它折算回現在的錢，加起來就應該要是 0。
所以 MWR 的公式就是，把每一期的金錢計成 $C_n$ 的話，淨現值為 0 解出來的投資報酬率 r。
\[
\begin{aligned}
NPV = \sum_{n=0}^N\frac{C_n}{(1+r)^n} = 0
\end{aligned}
\]
實際範例
假設一個投資我每年年初都會把利息取走，並在最後一天把本金與當日利息一起取回，金流如下
| 日期 | 金流 |
|---|---|
| 2021/1/1 | -2000 |
| 2022/1/1 | 100 |
| 2023/1/1 | 100 |
| 2024/1/1 | 2100 |
我們假設 10% 的貼現率算看看折現金額加總會是多少
| 日期 | 金流 | 10% 折現乘數 | 折現金額(四捨五入) |
|---|---|---|---|
| 2021/1/1 | -2000 | 1 | -2000 |
| 2022/1/1 | 100 | (1+10%)^1 = 1.1 | 90.91 |
| 2023/1/1 | 100 | (1+10%)^2 = 1.21 | 82.64 |
| 2024/1/1 | 2100 | (1+10%)^3 = 1.331 | 1577.76 |
可以發現折現金額加總等於 -248.69，太低了，這代表我們猜得貼現率太高，使正現金流折回初始日期折太多了。因此實際的 MWR 應該是要比 10% 小。
那我們猜 5% 看看。
| 日期 | 金流 | 5% 折現乘數 | 折現金額(四捨五入) |
|---|---|---|---|
| 2021/1/1 | -2000 | 1 | -2000 |
| 2022/1/1 | 100 | 1.01 | 95.24 |
| 2023/1/1 | 100 | 1.1025 | 90.70 |
| 2024/1/1 | 2100 | 1.157625 | 1814.06 |
加起來發現折現金額總合為 0，因此這樣的金流的內部報酬率，也就是 MWR ，就等於 5%
生活中實際計算
從上面的實際範例可以知道，由於我們在每一筆金流要折現的時候要算次方，實際計算其實很難算，所以現實生活中，我們幾乎不會自己手算。
在實際生活中 Excel 與 Google Sheet 都有提供一個公式叫做 XIRR 可以直接使用。
將金流像上面那樣，再套公式就可以讓電腦自己幫你算出正確的 IRR 了。詳細的使用方式可以參考這篇的範例
使用時機與比較
從上面的介紹，可以簡單的注意到幾點。第一個是，TWR 本身其實不在意時間效應，而是在計算許多段落累積起來的波動所能帶來的報酬，所以拿 TWR 來比較兩個不同的投資組合的時候，前提是兩者的總投資時長必須相等，否則無法比較。
第二個是，TWR 會消彌出金入金帶來的影響，所以這對於常見的共同基金比較是非常合理的算法，因為通常共同基金的經理人是不能影響出入金的（顧客購買基金時，就等於投資組合有入金，而顧客贖回時，基金就必須出金），所以比較經理人無法掌控金流的基金或是被動式 ETF 時，應採用 TWR。
這裡順便提一下，在投資網站上看到的被動型的 ETF 的 NAV Total Return (Net asset value total return)，其實意義上等同其 TWR。
再來，上面提到 TWR 會消彌出入金帶來的影響，也不在意時間效應，適合用來比較不響考慮金流的狀況，那實際要考慮金流與時間效應的時候，就應該要用 MWR。
對一般人個人而言，應該要以 MWR 來計算與比較不同的投資標的，才是正確的做法。
總結
- 比較經理人無法掌控金流的基金或是被動式 ETF 時，應採用 TWR
- 個人計算投資報酬率或是比較經理人可以掌控金流的基金時，應用 MWR/IRR
- TWR 意味著當資金於起始時投入並依據相同波動變化時的理論報酬率
- MWR/IRR 意味著考慮時間效應之後的個人報酬率
- 當投資的 TWR 高於全市場指數 NAV 時，代表選股做得好
- 當投資的 MWR 高於全市場指數 NAV 時，代表實際表現贏過大盤
- 當一個投資組合的 MWR 高於 TWR 時，代表投入資金的時機抓得好
- 當一個投資組合的 MWR 低於 TWR 時，代表投入資金的時機抓得不好